Касательно оригинального вопроса: выезд ребёнка из РФ с одним из родителей не требует никаких бумаг от второго родителя. Не понимаю, зачем Вам разрешение с целью туризма, если Вы - мать. (чисто уточним - Вы мать? Вы говорите про своего ребёнка?). Или вы выписаться хотите из квартиры и в консульстве на учёт встать? Уточните пожалуйста. Большинство русских даже граждан Америки с точки зрения РФ просто "временно выехали", и ничего :)

Если отец будет делать запрет на выезд, а это кажется его единственный вариант - то этот будет полный запрет на ребёнка выезд вообще, в независимости от цели, страны назначения и даже того, с кем выезд. Т.е: если отец пишет пограничникам запрет на выезд детей, он сам с детьми заграницу тоже выехать не может.