Это зависит от конкретного сотрудника и точно нужен сам человек (с иностранным паспортом).
Проблема будет не с отсутствием SSN-а, а с отсутствием американского адреса. Они хотят доказанный адрес (utility bill или lease на его имя).

Личный опыт: в феврале я прилетал из Израиля на три дня по туристической визе (т.е. никакого статуса у меня тогда не было), чтоб подготовить почву (записать детей в садики, открыть счёт итп). Одному моему знакомому при точно таких же условиях открыли счёт в Chase-е, так я зашёл в первое попавшееся отделение и был послан (не потому, что не было SSN-а, а потому, что у меня не было доказательства адреса). Я перешёл через дорогу в Citi, там история повторилась. Я ещё раз перешёл через дорогу в BofA и там мне без проблем открыли счёт, им был нужен только сам адрес, без доказательств. Адрес моих американских друзей их абсолютно устроил.
Я сильно подозреваю, что формально по правилам банка всегда нужны доказательства, но некоторые сотрудники готовы на это забить. Так что если сам человек есть, то можно переходить из отделения в отделение, пока не откроют.